олимпиада

Подготовка учащихся 7-8 классов к олимпиаде по учебному предмету «Математика»

Графики

Пецевич Е.В.

ТЕОРИЯ

         Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции ещё называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

 График квадратичной функции (Парабола)

 

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

·         если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;

·         если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p - на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q - на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

  

ПРИМЕРЫ

1. Параболы

На рисунках изображены графики функций вида

y = ax² + bx + c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты:

А) a > 0, c > 0; Б) a < 0, c > 0; В) a > 0, c < 0

Графики:

Решение:

Вспомним, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида

y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если  a < 0, то ветви направлены вниз.

Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.

У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

А) 3; Б) 2; В) 1

                                   2.Гиперболы

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции: A) y = -3/x; Б) y = 3/x; В) y = 1/(3x)

Графики:

Решение:

В данной ситуации можно воспользоваться двумя подходами — можно руководствоваться общими соображениями, а можно просто решить задачу подстановкой. Я рекомендую решать задачу общими соображениями, а проверять подстановкой.

Общие правила:

• если уравнение гиперболы положительное (то есть не стоит знак -, как во втором и третьем случае), то график функции лежит в первой и третьей координатной четверти
• если перед уравнением гиперболы стоит знак — (как в первом случае), то график лежит во второй и четвертой четвертях

Таким образом можно сразу определить, что первое уравнение соответствует графику под номером 2.

Второе правило звучит так:

• чем больше число в знаменателе гиперболы (рядом с x), тем сильнее гипербола жмется к осям координатной плоскости

и наоборот:

• чем больше число в числителе уравнения гиперболы, тем слабее и медленнее график функции прижимается к осям

Следовательно, функция Б слабее прижимается к осям и ей соответствует график 3, а функции В соответствует график 1, так как она сильнее прижимается к осям.

Ответ: A) 2; Б) 3; В) 1

                                               3. Линейный график

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции: A) y = 3x; Б) y = -3x; В) y = (1/3)x

Графики:

Решение:

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

y = kx + b

График данной функции зависит от k и b.

• если k < 0,  то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
• если k > 0, то функция возрастает, то есть линия идет снизу вверх, как на первых двух рисунках
• коэффициент b определяет сдвиг по оси y, если b < 0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если  b > 0, то выше ноля в точке y = b
• если k >1, то прямая идет круче, чем обычная y = x (как на втором и третьем графике), если k <1 , то положе, как на примере рисунка №1

Следовательно, графику y = 3x соответствует рисунок 2, так как прямая идет снизу вверх и она более крутая, чем кривая на рисунке 1, которому соответствует функция y = (1/3)x.

Графику 3 соответствует функция y = -3x так как k = -3 < 0, и график идет сверху вниз.

Ответ: A) 2; Б) 3; В) 1

---

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

1) y = x²; 2) y = x/2; 3) y = 2/x

Решение:

Для решения данной задачи необходимо знать вид графиков функций, а именно: y = x² — парабола, в общем виде это y = ax²+bx+c, но в нашем

b = c = 0, а а = 1

x/2 — прямая, в общем виде график прямой имеет вид y = ax + b, в нашем случае b = 0,  а = 1/2

y = 2/x — гипербола, в общем виде график функции y = a/x + b, в данном примере b = 0, a = 2

Парабола изображена на рисунке А, гипербола на рисунке Б, а прямая — В.

Ответ: А 1; Б 3; В 2

                                                  4.Параболы

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) у=–х²–4х–3                    Б) у=–х²+4х–3                    В) у=х²+4х+3

Решение:

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х² (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэф-т с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.

Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x₀ отрицателен, значит,

А-1, а Б-2.

Ответ: A-1, Б-2, В-3

5. Линейная функция

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ГРАФИКИ:

КОЭФФИЦИЕНТЫ:

1) k>0, b<0                   2) k>0, b>0                    3) k<0, b<0 

Решение:

Рассмотрим коэффициенты под №3. Если k<0, значит, график имеет тупой (>90⁰) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b<0, то это говорит, что график пересекает ось ординат (Оу) ниже нуля. Эти два условия реализованы на графике В. Итак, получаем для ответа пару: В–3.

У двух других пар коэффициентов (№№ 1 и 2) зафиксировано, что k>0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительному направлению оси Оx под острым углом (<90⁰). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b<0. Это означает, что соответствующий им график должен пересекать ось Оу в точке ниже начала координат. Таковым является график Б, и мы получаем пару Б–1. В паре коэффициентов №2 b>0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

Ответ:  

ТРЕНАЖЕР

Графики функций и их формулы

1  . На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера. 1) f(x) < 0 при x < 1 2) Наибольшее значение функции равно 3 3) f(0) > f(4)

 

2 Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

 

3 . На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.         4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.         5. Установите соответствие между функциями и их графиками.         6. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.         7. Установите соответствие между функциями и их графиками.         8. На рисунке изображены графики функций вида y=ax2​+bx+c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.         9. Установите соответствие между функциями и их графиками.         10. На рисунке изображены графики функций вида y=ax2​+bx+c. Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.       ЗАДАНИЯ   1.    Постройте график уравнения: =0. Решение. =0, при Разложим левую часть уравнения на множители: (2x-3)(x-y)=0. 2x-3=0, или x-y=0, откуда х=1,5 или y=x при x -3 , x3. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси ординат и проходящая через точку (1,5;0), графиком второго уравнения биссектриса первой и третьей координатных четвертей. На получившихся графиках «выкалываем» точки с абсциссами -3 и 3 ОЦЕНКА 2 График построен, нет решения 4 Найдена область определения или нули функции, график построен с ошибками 6 Составлены уравнения, из графиков которых будет состоять график заданной функции, построения с ошибками 8 График построен верно, есть несущественные ошибки в решении. 10 Задание выполнено верно с графиком и пояснениями.

  2. При каких значениях b и с парабола у = x² +bx +c касается прямой у= 4х + 1 в точке с абсциссой х=1?

Решение. Найдем координаты точки касания прямой у = 4х + 1и параболы у = х² + bx +c. Х =1, у = 5. Поскольку (1; 5) – точка касания, то в этой точке должно выполняться следующее равенство 1 + b +c = 5.

Угловой коэффициент касательной равен 4, значит 2х + b = 4 при х = 1, то есть 2 + b = 4. Откуда b = 2, с = 2.

Ответ: b = 2, с = 2

  3.Найти все , при которых область значений функции содержит отрезок [-1; 1].

Решение.

При функция – линейная функция. Ее область значений – вся числовая прямая . То есть при 

При функция – квадратный трехчлен, график – парабола. Найдем координаты вершины параболы: , .

При , ветви параболы направлены вниз, следовательно , при любых отрицательных .

При ветви параболы направлены вверх, и отрезок 

содержится в этом множестве, если т.е. .

Объединим вместе ответы всех трех случаев:

Ответ: 

 

4. Построить график функции:

Ответ: на рис.

 

 

 ТЕСТЫ

1.     Дана функция у = -х² - 4х + 5. Вычислите значения этой функции при х=-2 и х=-6. Запишите сумму получившихся значений. 

Варианты ответов:       а). 2;            б). 2,5;           в). 0,5;               г). 1,8.

2.     Дана функция у = -х² + 2х + 3. Вычислите значения этой функции при х=-3 и  х=1. Запишите сумму получившихся значений. 

Варианты ответов:      а). -4;            б). -8;            в). -6;                 г). 8.

3.     Для функции у .= -0,5х + 3 найдите значение х, при котором значение у=-1.

Варианты ответов:      а) 10,2;                   б). 7,5;                  в). 8;           г). 6.

4.     Для функции у=-1,5х - 5 найдите значение х, при котором значение у=1.

Варианты ответов:      а).-1,5;                    б). -4;                   в). -2;                   г). 2,5.

5.     Дана функция у= 2х- 5 . Какой из приведенных ниже графиков является графиком этой функции?

Варианты ответов: 

                    а).                   у                                        б).                     у

                                                                                 

                                             -2,5    0                  х                                                     0        2,5       х

 

                                                            -5                                                                                   -5

 

        

                   в).                  у                                    г).                    у      

                                                                                                                                          2,5          

                                                       

                                       

                                                                                                                                                                                     0     2           х                                             -5      0                  х       

                                            

                                          -5

 

6.     Дана функция у = -2х + 3 . Какой из приведенных ниже графиков является графиком этой функции?

Варианты ответов: 

                    а).                   у                                        б).                     у

                                                  1,5                                          

                                                                                                                                       3

 

                                                      0                3            х                                             -1,5   0                  х

 

 

                    в).                  у                                    г).                    у      

                                                     3                                                                                          3          

                                                       

                                           

                                                                                                                                              -2                         0                х                                                      0    1,5             х       

                                            

                                  

7.     Укажите координаты точки пересечения графиков функций  у = 1,5х – 2  и      у = 4 - 0,5х.

Варианты ответов:  а). (3; 2,5);      б). (-3; -6,5); в).          г).                            

 

8.     Укажите координаты точки пересечения графиков функций

 у = -0,5х + 2  и      у = -3 + 2х.

  Варианты ответов:   а). (-2; -1);               б). (-2; 1);         в).(2; 1);        г).(2; -1).

9.     Найдите координаты точки пересечения графика у = - с осью абсцисс.

Варианты ответов: а). (-16; 0);         б).  ;       в). (-8; 0);         г). (-12; 0).

10. Найдите координаты точки пересечения графика у = - с осью абсцисс.

Варианты ответов:  а).  ;          б). (-9; 0);        в). (9; 0);         г).  ;

 

        11.   График функции у = кх + l проходит через точки А(2; -3)  и В(1; 2).  Напишите формулу, задающую эту функцию.

Варианты ответов:  а). ;  б). у = 5х – 2;  в). у= -5х +7;  г).  у = 5х -7.

 

      12.График функции у = кх + l проходит через точки М(-2; -4)  и К(1; 3).  Напишите формулу, задающую эту функцию.

Варианты ответов:   а). ;  б). у = х+ ;   в). у= х - ;   г).  у = 2х  -

 

     13. Какой из графиков является графиком уравнения 2х – 0,5у = 3?

Варианты ответов: 

а).                                                              б).

                                                    у                                                                          у     

                                               6                                                                                                    6

 

 

                                               0   1,5          х                                                      -1,5       0                   х

 

 

 

 

                    в).            у                                                    г).               у

 

 

                                           0          1,5    х                                                     -1,5   0                   х 

 

                                             -6                                                                                            -6

 

 

 

      14.   Какой из графиков является графиком уравнения 2х +  у = 1?

Варианты ответов: 

а).                                                              б).

                                                    у                                                                          у     

                                                                                                                                                  6

 

 

                                               0        1,5       х                                                      -1,5     0                   х

 

                                                     -3                                                                                      -3

 

 

 

                                   у                                                                              у

                    в).                                                                  г).           3     

                                        3

                                                                                                

                                           0        0,5    х                                                       -0,5   0                   х 

 

 

 

15. Найдите область определения функции у = f(x).

Варианты ответов:                                                                                    у

                       а). [-1; 3];                                                                                          

                      б). [-2; 3];                                                                         2      

                      в). [-1; 2];                                                                          1

                      г). [-1; 1].                                                       -2      -1

                                                                                                               0                     3        х         

 

                                                                                                                                                                              -1

                                                 у

        16. Найдите область определения функции у = f(x).                   

Варианты ответов:  а). [-1; 2];                                                                    3     

                                         б). [-3; 1];                                                      2      

                                          в). [-1; 3];                                                                         

                                          г). [-2; 2г].                                      -2      

                                                                                                                 0       1           2        х         

 

                                                                                                                                                                              -1

 

17. Дана функция у = -2х +7 .При каких значениях    х     у>0 ?

 Варианты ответов:    а). ;      б). ;      в).  ;    г). .

18. Найдите нули функции  .

Варианты ответов:   а). 6;             б). -6;        в). -10; -6;             г). -.

 

 

19. Для функции  у = f(x)   найдите промежутки возрастания.

 Варианты ответов:    а). [t ; n] ;                                                                   у

                             б). [p ; m] ;                                                            m

                              в). [c ; n];

                               г). [t ; k].

 

 

                                                                                                                                           b   c    t         0   

                                                                                                                                a                                  n           k        x

                                                                                                                                                                                                p

 

20. Для функции  у = f(x)   найдите промежутки убывания.

 Варианты ответов:    а). [a ; r] ;                                                                  у

                             б). [n ; t] ;    

                              в). [a ; p];

                              г). [m ; r].

 

                                                                                                                                                                                               t

                                                                                                                                      b    c                  0          a     r    p      

                                                                                                                                              m         n                              x

                                                                                                                                                                                                l

                                                                                                                                                       

21. Дана функция у = -4х - 5 .При каких значениях    х     у < 0 ?

 Варианты ответов:     а). ;      б). ;      в).  ;    г). .

22. Найдите множество значений функции   у = f (x) ?                 у

Варианты ответов:        а). [ -1; 2];

                             б).[ -3; 1];                                                         3

                             в). [ -1; 3];                                                           2

                             г). [ -2; 2].  

 

 

                                                                                                                                                             -2         0      1           2       х

 

                                                                                                                                                              -1

 

23. Функция задана формулой   f(x) = -3x² + 2x +5. Найдите   f(-3).

Варианты ответов:    а). -16;         б). -28;          в).  26;           г). 28.

 

24. Укажите  график функции   у = -х² +4х – 3.

Варианты ответов: 

                  а).                     у                                       б).                у

 

                                                                                                                                                                  1

 

                                                            0   1             3                                               -3               -1

                                                                                   х                                                        0                         х

                                                          -1        

 

 

 

 

                             в).                     у                                     г).                 у

                                                                                                                                   2

                                             1                                                                                   0                           х

                                                                                                                    -1

                                              0      1        3        х                                            -3

                                             -3

 

 

 

 

Ключ к тесту.

                                                                                                                                           

 

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Ответ	а	б	в	б	б	г	а	в	а	в	в	а

 

Номер задания	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Ответ	в	в	б	г	в	а	в	г	а	в	б	в

 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

1.Дана линейная функция у = кх + 2. Найдите значение к, при котором график функции пересекает ось Ох  в точке с абсциссой -1.

2. Дана линейная функция у = 2х + в - 1. Найдите значение в, при котором график функции пересекает ось Оу  в точке с ординатой  8.

3. Постройте график функции у = 3х(4х-3) – 2х (6х + 1) + 2 (5х - 1).

4. Найдите ординату вершины параболы, график которой пересекает ось Оу в точке с ординатой 1, симметричен относительно прямой х + 2 = 0 и проходит через точку (2;7).

5.При каком значении числа а график функции у = а х² - 6х + 1 касается оси абсцисс.

 

 

10 класс

1.     Доказать, что (4444³³³³ + ЗЗЗЗ⁴⁴⁴⁴) кратно 7.

(5 баллов)

2.     Решите неравенство:

         |х² + 5x + 6| - |х - 2| > |X² + Зх - 4|

(6 баллов)

3.     Представить в виде суммы трех радикалов.

(5 баллов)

4.     Две окружности радиусов r и Зr внешне касаются. Определите площадь фигуры, заключенной между окружностями в общей к ним внешней касательной.

(6 баллов)

5.     Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они владеют иностранными языками (английским, французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански, Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

(5 баллов)

 

11 класс

1.     Докажите, что:

²

(5 баллов)

2.         Числа а, в, с образуют арифметическую прогрессию, числа а², в², с²  образуют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

(6 баллов)

3.         Решите уравнение (х + 3)⁴+ (х + 5)⁴ = 16

(3 балла)

4.         Расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных граней куба равно d. Определите полную поверхность куба.

(6 баллов)

5.      Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они владеют иностранными языками (английским, французским, немецким, испанским), но каждая только одним. Девушка, которая играет на гитаре_; говорит по-испански, Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка. Девушка, которая говорит по-немецки, не играет ни виолончели. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

10 класс: Неравенства. Свойства квадратичной функции. Окружность. Вписанные многоугольники. Делимость и остатки. Комбинаторные задачи.

 

10 класс

 

10.1. (7 баллов). Решите неравенство: х⁴ – 4х³ + 12х² – 12х + 24 < 0.

Ответ: решений нет

Решение. Прибавим и вычтем 4х², получим: х⁴ – 4х³ + 4х² - 4х² + 12х² – 12х + 24 < 0.

(х² – 2х)² + (8х² - 12х + 24) < 0. Но для любых значений х трехчлен 8х² - 12х + 24 > 0 (дискриминант отрицательный и 8 > 0) и (х² – 2х)² ≥ 0. Следовательно,

(х² – 2х)² + (8х² - 12х + 24) > 0.

 

10.2. (7 баллов). В первую минуту лиса выбросила с воза 1 рыбку, во вторую минуту – 2 рыбки, в третью минуту – 4 рыбки, в четвертую минуту – 8 рыбок и т.д. Сколько всего рыбок выбросила лиса за 10 минут?

Ответ: 1023.

Указание. Рассмотреть геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2.

 

10.3. (7 баллов). Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь пополам. В каком отношении она делит боковые стороны треугольника?

Ответ: (  V 2- 1) : 1.              

В

Решение. Пусть S _{∆ ABC} = 2 S _{∆ MNB}  ( см. рис.);  ∆ ABC ~ ∆ MNB ;   ;

AB =  MB,  АМ = АВ – МВ =  MB – МВ = (  - 1) МВ;       

                

С

А

М

N

С

А

М

N

                

 

10.4. (7 баллов). Постройте график функции .

 

10.5. (7 баллов). Среди семи монет имеются две фальшивые (более легкие). Какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь понадобится, чтобы выделить обе фальшивые монеты?

Решение. Положим на весы 6 монет по три на каждую чашку. Если будет равновесие, то на каждой чашке по одной фальшивой монете. Чтобы выявить по фальшивой монете из каждой тройки, достаточно двух взвешиваний. Если же при первом взвешивании одна чашка перевесила, то на ней монеты настоящие, и тогда необходимо определить две фальшивые монеты из оставшихся четырех с помощью двух взвешиваний.

 

 

 

10 класс

 

 

Задачи

10.1. (7 баллов). При каком т многочлены  Р (х) =  2х²– (3т + 2)х + 12 и 

G(x) = 4х²- (9т – 2)х + 36   имеют общий корень?

 

10.2  (7 баллов).    Построить график функции у = .

10.3. (7 баллов). Через вершины А  и  В единичного квадрата  ABCD проходит окружность, пересекающая прямые AD   и AC в точках К и М., отличных от А. Найдите длину проекции КМ  на  АС.

 

10.4. (7 баллов).  Найдите наименьшее целое значение параметра р, при котором для всех значений х выполняется неравенство х⁴ + 2х² + р  ≥ 4х.

 

10.5. (7 баллов). В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он имел серебряную цепочку, состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена, а остальные должны быть целыми. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно расплачиваться с хозяином?

 

 

Ответы и решения

10.1. При каком т многочлены  Р (х) =  2х²– (3т + 2)х + 12 и 

G(x) = 4х²- (9т – 2)х + 36   имеют общий корень?         Ответ: т = 3.

Решение. Пусть х = t – общий корень этих многочленов. Тогда имеет место система     Умножим на (- 2) первое уравнение и сложим со вторым, получим (6 – 3т) t – 12 = 0, t = 0,25(т – 2). Подставим это значение t  в первое уравнение, получим:

 ∙ 4  = 0,    Итак,  т = 3.

Проверкой убеждаемся, что при т = 3 многочлены P(х) и  G(x) имеют общий корень х = 4.

10.2.  Построить график функции у = .

Решение. Используя свойства арифметического квадратного корня представим функцию в виде  . Раскрывая модули, получим    График полученной функции построить несложно

10.3. Через вершины А  и  В единичного квадрата  ABCD проходит окружность, пересекающая прямые AD  и  AC в точках К и М., отличных от А. Найдите длину проекции КМ  на  АС.   Ответ: .Решение. Будем считать что точка М лежит на прямой АС, а точка К на АD. Обозначим  через Т точку пересечения окружности с прямой ВС

С

F

М

Е

А

В

D

Т

К

В – прямой, значит АТ – диаметр.  АМТ также прямой, он опирается на диаметр. Пусть Е - проекция точки  К на АС, F – точка пересечения прямых  КТ и  АС. Проекция КМ на  АС есть ЕМ. Но TF = TА + FM  есть проекция  ТК Следовательно, проекции  МК  и  КТ на  АС равны. По условию  ABCD – квадрат, сторона которого равна 1. Поэтому КТ = 1, Но  КТ ║ АВ,    FTC – прямой,  ТFC = 45º. Поэтому проекция КМ на АС равна произведению длины  ТК  на  , т.е. .

10.4. Найдите наименьшее целое значение параметра р, при котором для всех значений х выполняется неравенство х⁴ + 2х²  + р  ≥ 4х    Ответ: р = 2. Решение. Исходное неравенство преобразуем следующим образом:х⁴ + 2х² - 4х + р  ≥ 0,   х⁴ + 2 (х² – 2х) + р  ≥ 0,   х⁴ + 2 (х² – 2х + 1) + (р – 2) ≥ 0,   х⁴ + 2 (х – 1) ² + (р – 2) ≥ 0. Первые два слагаемых неотрицательны для всех значений х. Тогда и третье слагаемое должно быть неотрицательным, а это значит, что  р  - 2 ≥ 0, р ≥ 2.Наименьшее целое значение для параметра р – это 2.

10.5. В гостиницу приехал путешественник. Денег у него не было. Он имел серебряную цепочку, состоящую из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он расплачивался одним звеном цепочки. Хозяин предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена, а остальные должны быть целыми. Как путешественнику распилить цепочку, чтобы прожить в гостинице неделю и ежедневно расплачиваться с хозяином?

Решение. Если распилить третье звено, то цепочка распадается на три части: 1, 2 и 4 звена. С их помощью удается расплатиться, так как хозяин может давать сдачу звеньями, которые он получил раньше.

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

2009 – 2010 учебный год

1.       (7 баллов) (Старинная задача) Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше остальных. Сколько нужно дать каждому?

2.       (7 баллов) В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали пересекаются в точке Е. Площадь треугольника АВЕ равна 72, площадь треугольника CDE равна 50. Найдите площадь трапеции ABCD.

3.     (7 баллов) При каких значениях параметра  оба корня уравнения    больше 3?

4.       (7 баллов) Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10г каждый. Одна из машин испортилась и стала выпускать мячи по 5г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?  

5.    (7 баллов) Решить систему уравнений:  

 

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

2009 – 2010 учебный год

1.       (7 баллов) (Старинная задача) Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше остальных. Сколько нужно дать каждому?

2.       (7 баллов) В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали пересекаются в точке Е. Площадь треугольника АВЕ равна 72, площадь треугольника CDE равна 50. Найдите площадь трапеции ABCD.

3.     (7 баллов) При каких значениях параметра  оба корня уравнения    больше 3?

4.       (7 баллов) Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10г каждый. Одна из машин испортилась и стала выпускать мячи по 5г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?  

5.    (7 баллов) Решить систему уравнений:  

 

 

Решения (10 класс):

1.     (7 баллов) (Старинная задача) Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение.  Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член х, разность у. Тогда доля первого                    х

доля второго                     х + у

доля третьего                   х + 2у

доля четвертого   х + 3у

доля пятого                       х + 4у

На основании условий задачи составляем следующую систему уравнений:

   

Значит, хлеб должен быть разделен на следующие части:   ;   20; ;  .

Ответ:   ;  20; ;  .

2.     (7 баллов) В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали пересекаются в точке Е. Площадь треугольника АВЕ равна 72, площадь треугольника CDE равна 50. Найдите площадь трапеции ABCD.

Решение. 

Треугольники АВЕ и CDE подобны по двум углам при основании. Поскольку площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, то

А

В

С

D

E

ВЕ² : DЕ² = 72 : 50, откуда ВЕ : DЕ = 6 : 5. Так как в треугольниках ВСЕ и DCE стороны ВЕ и DE лежат на одной прямой и вершина С, то их площади относятся как основания,

т.е. S_BCE : S_DCE = BE : DE = 6 : 5. Откуда S_BCE  = 6 : 5 50 = 60.

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна

S_ABCD  = 72 + 50 + 60 + 60 = 242.

 

 

3.   (7 баллов) При каких значениях параметра  оба корня уравнения   больше 3?

Решение. 

Должны выполняться условия:

             .

Ответ:  .

4.     (7 баллов) Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10г каждый. Одна из машин испортилась и стала выпускать мячи по 5г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей?  

Решение.  Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от третьей – три и т.д., от десятой – десять. Найдем их общую массу. Это взвешивание будет единственным. Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали бы  10 × (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 550г.

Если первая машина допускает брак, то общая масса станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т.д., если десятая, на 50г. Таким образом, по массе 55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.

5.   (7 баллов) Решить систему уравнений:  

Решение.

                     или   

Ответ:   .

 

 

 

http://math.grsu.by/

II Дистанционная олимпиада по математике Школы точных наук
среди учащихся 5–7 классов
Второй этап
5 класс
Задания, оцениваемые в 2 балла
1. Арбуз и пол-арбуза стоят вместе 15 000 рублей. Сколько стоит целый арбуз?
1) 10 000 рублей 2) 5 000 рублей 3) 7 500 рублей 4) 2 500 рублей 5) 1 000 рублей
2. Две пчелиные семьи собрали за летний сезон 150 кг мёда. В одной семье было в 2 раза больше
пчёл-работниц, чем в другой. Сколько пчёл было в пчелиной семье с меньшим количеством
работниц, если одна пчела-работница собирает за летний сезон 2 г мёда?
1) 15 000 2) 20 000 3) 25 000 4) 10 000 5) 2 500
3. Определяя количество воды, даваемое родником, туристы заметили, что двухлитровая банка
наполняется за 2 секунды. Сколько литров воды даёт родник в час?
1) 3 600 л 2) 2 000 л 3) 1 000 л 4) 360 л 5) 200 л
4. Если  2012 10   x , то верно следующее утверждение
1)  2)  3)  4)  5)  4004 2  x
Задания, оцениваемые в 3 балла
5. Сколько километров в миллионе миллиметров?
1) 1 км 2) 10 км 3) 100 км 4) 1 000 км 5) 10 000 км
6. Для Вани, Толи и Миши есть три пирога с рисом, капустой и яблоками. Миша не любит пирог с
яблоками и не ест с капустой. Ваня не любит пирог с капустой. Какой пирог ест Ваня?
1) пирог с рисом 2) пирог с капустой 3) пирог с яблоками
7. К задуманному числу прибавили 42, затем прибавили задуманное число. Получили 210.
Найдите и запишите задуманное число.
Ответ: 84
8. В шахматном турнире участвовало 7 человек, и каждый сыграл с каждым по одной партии.
Сколько партий было сыграно?
Ответ: 21
Задания, оцениваемые в 5 баллов
9. Ребята заметили, что участок ветки в 15 см гусеница проползает за 7 минут. Найдите длину
гусеницы, если скорость движения гусеницы 3 см/мин.
Ответ: 6
10. Длина прямоугольника равна 3 м 24 см, что в 4 раза больше стороны квадрата. Найдите
периметр квадрата в сантиметрах. В ответ запишите только число.
Ответ: 324
11. Кусок сатина длиной 48 м надо разрезать на 2 части так, чтобы одна из них была в 3 раза
больше другой. Сколько метров составляет длина меньшего куска сатина. В ответ запишите
только число.
Ответ: 12
12. В приведённом примере восстановите отмеченные звёздочками отсутствующие цифры:
_6*5*
*8*4
2856
В ответ запишите только уменьшаемое.
Ответ: 6750
6 класс
Задания, оцениваемые в 2 балла.
1. Укажите число, обратное числу: одна целая две пятых .
1)  2) 1,4 3) 1  4)  5)
2. Бригада перевыполнила план на 10% и заготовила при этом 880 м 3  дров. Определите, сколько
дров должна была заготовить бригада по плану.
1) 980 м 3 2) 900 м 3 3) 870 м 3 4) 800 м 3 5) 88 м 3
3. Какой угол составляют стрелки часов в 11 часов 20 минут?
1) 160 0 2) 240 0 3) 220 0 4) 300 0 5) 320 0
4. Записано тридцатизначное число цифрами которого являются только единицы. На какое число
делится это число?
1) 3 2) 9 3) 5 4) 2 5) 4
Задания, оцениваемые в 3 балла
5. В первую половину месяца было израсходовано 42% месячной нормы угля, во вторую половину
месяца 44% нормы, после чего осталось 28 тонн угля. Какова месячная норма расхода угля?
1) 72 т 2) 100 т 3) 200 т 4) 320 т 5) 400 т
6. Вода при замерзании увеличивается на  часть своего объёма. На какую часть своего объёма
уменьшится лёд при обратном превращении в воду?
1) 2) 3)  4) 5)
7. Площадь квадрата равна площади прямоугольника, длина прямоугольника равна 12 см, а высота
3 см. Найдите сторону квадрата.
Ответ: 6
8. Собака погналась за лисицей. В то время, когда собака делает 2 скачка, лисица делает 3 скачка,
но скачок лисицы равен 1 м, а собаки в 2 раза больше. Какое расстояние пробежит собака, чтобы
догнать лисицу, если первоначальное расстояние между ними равно 50 м?
Ответ: 200
Задания, оцениваемые в 5 баллов
9. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько килограммов пресной воды нужно
прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в воде стало 2%? В ответ запишите
только число.
Ответ: 60
10. 269 литров масла разлили в бидоны по 10 литров и 13 литров. Какое наименьшее количество
бидонов могло получиться? В ответ запишите только число.
Ответ: 23
11. На три склада доставили груз. На первый и второй склады доставили 400 тонн, на второй и
третий – 300 тонн, а на первый и третий – 440 тонн. Сколько тонн груза было доставлено на
первый склад? В ответ запишите только число.
Ответ: 270
12. Отцу 36 лет, сыну 2 года. Через сколько лет отец будет старше сына в 3 раза? В ответ запишите
только число.
Ответ: 15
7 класс
Задания, оцениваемые в 2 балла
1. Для организма детей необходимо, в среднем, 1  л воды в сутки.  часть воды поступает в
организм с питанием, а остальная часть – в виде питьевой воды. Сколько литров питьевой воды
потребляют дети в сутки?
1) 1  2) 1  3)  4)  5)
2. Число 2400 разделили в отношении 2:3:8:11. Найдите полученные числа.
1) 240, 20, 30, 11 2) 240, 200, 300, 80 3) 20, 30, 80, 110 4) 110, 80, 30, 20
5) 200, 300, 800, 1100
3. Древесина только что срубленного дерева массой 7,5 ц содержала 64% воды. Через неделю
количество воды стало составлять 55% от массы дерева. На сколько центнеров уменьшилось при
этом первоначальная масса дерева?
1) 1,3 ц 2) 3,7 ц 3) 2 ц 4) 1,5 ц 5) 6 ц
4. Чему равна площадь заштрихованного квадрата, если сторона большого квадрата равна 8 см?
1)16 см 2 2) 28 см 2 3) 32 см 2 4) 36 см 2 5) 54 см 2
Задания, оцениваемые в 3 балла
5. Юра едет в поезде, который идёт со скоростью 60 км/ч, и видит, как в течение 3с мимо его окна
в противоположном направлении проходит поезд, имеющий длину 120 м. С какой скоростью идёт
встречный поезд?
1) 50км/ч 2) 72 км/ч 3) 120 км/ч 4) 84 км/ч 5) 144 км/ч
6. Укажите шестую дробь, узнав способ составления дробей:
, , ,  ,  .
1) 2)  3)  4)  5)
7. Определите площадь фигуры ABCD, зная, что площадь маленького квадрата равна 2.
1) 57,5 2) 115 3) 60 4) 100 5) 120
8. Вычислите 140000 : ) 430000 570000 (
2 2
 .
Ответ: 1000000
Задания, оцениваемые в 5 баллов
9. Стороны треугольника относятся как 3:4:5, периметр его равен 60 см. Найдите длину большей
стороны треугольника.
Ответ: 25
10. Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному на дерево, то одному
скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по 2 скворца, то одно дерево осталось
свободным. Сколько всего было скворцов? В ответ запишите только число.
Ответ: 4
11. В треугольнике ABC биссектрисы AD и BK углов BAC и ABC пересекаются в точке О. Найти
угол ACB, если угол BOD=30 0 . В ответ запишите только число.
Ответ: 120
12. Юра и Ира ели сливы. Юра сказал Ире: «Дай мне свои две сливы, тогда у нас будет поровну»,
на что Ира ответила: «Нет, лучше ты мне дай две свои сливы – тогда у меня будет в два раза
больше, чем у тебя». Сколько слив было у Юры? В ответ запишите только число.
Ответ: 10

Задачи-шутки

Задача 1

Будем условно считать, что если человек не будет семь суток есть или семь суток спать, то он умрет. Пусть человек неделю не ел и не спал. Что он должен сделать в первую очередь к концу седьмых суток: поесть или поспать, чтобы остаться в живых?
(Несмотря на шутливый характер, задача имеет строгое и единственное решение).

Ответ

---

Задача 2

Снесли вместе 7 стожков сена и 11 стожков. Сколько стожков получилось?

Ответ

---

Задача 3

Каждую из пяти шашек передвиньте на одну клетку так, чтобы в итоге в каждом ряду, столбце и по диагоналям находилась одна шашка.

Ответ

---

Задача 4

Задумайте число и запишите его. Удвойте его и прибавьте 1. Затем умножьте на 5 и вычтите 5. Разделите на 10. Результат запишите рядом с задуманным числом. Что получилось?

Ответ

---

Задача 5

Вставьте в кружочки на рисунке числа от 1 до 7 так, чтобы на каждой прямой сумма чисел равнялась 15. (Решение задачи не единственно).

Ответ

---

Задача 6

На одном доме четыре дымовые трубы, на соседнем три и на следующем две. Что получается в результате?

Ответ

---

Задача 7

Как правильно сказать: "9 и 7 будет 15" или "9 плюс 7 равно 15"?

Ответ

---

Задача 8

Нарисуйте этот конверт, не отрывая карандаша от бумаги.

Ответ

---

Задача 9

Заполните пустые клеточки на рисунке числами 2, 4, 8, 12, 16, 18 так, чтобы сумма чисел, соединенных прямыми по всем направлениям, равнялась 30. (Решение задачи не единственно).

Ответ

---

Задача 10

Задумайте число и запишите его, умножьте на 5, прибавьте 2, умножьте на 4 и затем прибавьте 3. Теперь умножьте на 5 и прибавьте еще 7. Запишите результат. Вычеркните две последние цифры. Какое число получилось?

Ответ

---

Задача 11

У мальчика сестер столько же, сколько и братьев. Но у каждой сестры братьев в 2 раза больше, чем сестер. Сколько всего детей в семье? Сколько из них мальчиков и сколько девочек?

Ответ

---

Задача 12

Числа 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 необходимо расположить в магическом квадрате так, чтобы сумма чисел по каждой вертикали, горизонтали и диагонали была одинакова.

                                                                          

Ответ                                                          

---

Задача 13

Как из 45 (сумма, которая составляется из сложения чисел от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге получилось... 45?

Ответ

---

Задача 14

Электропоезд едет с востока на запад. Набрав скорость, поезд делает 60 км/ч. В том же направлении – с востока на запад – дует ветер, но со скоростью 50 км/ч. В какую сторону относит дым поезда?

Ответ

---

Задача 15

Из 12 палочек сложили 5 квадратов. Уберите две палочки так, чтобы остались только два разных по величине квадрата.

Ответ

---

Задача 16

Предположим, что земной шар охвачен по экватору обручем, который по длине превосходит экватор на 10 метров. Допустим, что обруч на всем протяжении равно удален от поверхности земли. Как велик промежуток между поверхностью и обручем? Смогла бы, скажем, проползти под обручем муха?

Ответ

---

Задача 17

Петя говорит другу: "Я поймал много больших рыб, а маленьких вдвое меньше. Всего у меня было 16 рыб." Верно ли это?

Ответ

---

Задача 18

Составьте примеры с ответом 100. При этом можно пользоваться математическими знаками +, –, ×, / :
а) пять раз цифрой 1 ;
б) четыре раза цифрой 9 ;
в) пять раз цифрой 5 .
Например, "пять раз цифрой 3" : 33×3+3/3 = 100.

Ответ

---

Задача 19

В знойный летний день, когда воздух звенит от насекомых, на зеленой лужайке площадью в три с половиной га пасутся две лошади одной породы и масти, различающиеся между собой разве только тем, что у одной хвост подвязан, а у другой – нет. Лужайка имеет форму параллелограмма, и одна из лошадей щиплет траву, передвигаясь по его диагонали, а другая – по его сторонам. Какая из этих лошадей в течение часа съест больше травы, если аппетит у них одинаков, одинаков и травяной покров лужайки, на которой они пасутся?

Ответ

---

Задача 20

Восемь чисел 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 необходимо так расставить по квадратикам, чтобы каждая из четырех сумм (в наружном и внутреннем квадратах, а также по диагоналям) составляла 20.

Ответ

---

Задача 21

Мельник пришел на мельницу. В каждом из четырех углов он увидел по 3 мешка, на каждом мешке сидело по 3 кошки, а каждая кошка имела при себе троих котят. Спрашивается, много ли ног было на мельнице?

Ответ

---

Задача 22

Как можно одним мешком пшеницы, смоловши ее, наполнить два мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница?

Ответ

---

Задача 23

Переложите одну из палочек так, чтобы равенство было верным:

а)

б)

Ответ

---

Задача 24

Двое прошли – три гвоздя нашли,
Следом четверо пройдут – много ли гвоздей найдут?

Ответ

---

Задача 25

Летели утки: одна впреди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

Ответ

---

Задача 26

Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 ч. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

Ответ

---

Задача 27

Два отца и два сына поймали 3 зайцев, а досталось каждому по 1 зайцу. Спрашивается, как это могло случиться?

Ответ

---

Задача 28

Вставьте числа 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8 в клетки магического квадрата так, чтобы сумма в каждом ряду и столбце равнялась 18.

Ответ

---

Задача 29

Написать цифрами число, состоящее из одиннадцати тысяч, одиннадцати сотен и одиннадцати единиц.

Ответ

---

Задача 30

Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги схватили три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну?

Ответ

---

Задача 31

Что это может быть: две головы, две руки и шесть ног, а при ходьбе только четыре?

Ответ

---

Задача 32
Как найти задуманное четное число?

Предложите кому-нибудь задумать четное число, затем это число утроить, полученное произведение разделить на 2, а частное опять утроить. После объявления результата арифметических действий вы называете задуманное число. Как это сделать?

Ответ

---

Задача 33
Как отгадать два числа?

Предложите кому-нибудь задумать два числа, одно из которых превышает другое на 1, и каждое из которых не больше девяти. Затем попросите перемножить два этих числа, из произведения вычесть меньшее из чисел и результат опять умножить на меньшее из задуманных чисел. По объявленной последней цифре полученного результата вы можете назвать задуманные числа. Как их найти?

Ответ

---

Задача 34
Как найти задуманное число?

Предложите кому-нибудь задумать не очень большое число и умножить его на само себя. К полученному результату попросите прибавить удвоенное задуманное число и еще 1. По объявленному результату арифметических действий вы можете назвать задуманное число. Как это сделать?

Ответ

---

Задача 35
Как найти цифру?

Записав число, сумма цифр которого делится на 9, и отвернувшись, предложите кому-нибудь умножить его на любое число. В полученном произведении предложите зачеркнуть любую из цифр, кроме нуля, а оставшиеся цифры переставить в произвольном порядке. После объявления результата указанных действий вы можете указать, какая цифра была зачеркнута. Как найти зачеркнутую цифру?

Ответ

---

Задача 36
Как найти зачеркнутую цифру?

Предложите кому-нибудь записать любое многозначное число, не все цифры которого одинаковы. Попросите переставить цифры этого числа таким образом, чтобы получилось число, отличное от первоначального, и записать его. Затем предложите вычесть меньшее число (из двух полученных) из большего числа, в разности зачеркнуть любую цифру, отличную от нуля, найти сумму оставшихся цифр и сказать результат. По объявленному результату вы можете сказать, какая цифра была вычеркнута. Как ее определить?

Ответ

---

Задача 37
Быстрое сложение.

Предложите кому-нибудь записать несколько чисел, имеющих одинаковое количество цифр. К этим числам вы еще дописываете несколько чисел. Сразу объявив результат, вы предлагаете найти сумму всех записанных чисел. Какие числа необходимо дописать и как быстро найти сумму всех чисел?

Ответ

---

Задача 38
Какие часы лучше?

Творчество известного английского писателя и математика Льюиса Кэрролла (Чарльза Лутвиджа Доджсона), чьи произведения читают все от мала до велика, может послужить источником популяризации логики, в том числе и математической.
Льюис Кэрролл предложил следующую задачу. Предположим, что у вас имеются двое часов, одни, которые вообще не идут, и вторые, которые отстают на одну минуту в сутки. Спрашивается, какие часы лучше?

Ответ 

Олимпиадные задачи для 5 класса
1.                Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500г, а четыре утенка и три гусенка весят 2 кг 400г. Сколько весит 1 гусенок?
2.                Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до пункта В, повернул обратно с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся?
3.                Найдите удобным способом сумму чисел от 90 до 120.4.                Мама дала своим детям конфеты. Дочери - половину всех конфет и еще одну кон­фету. Сыну - половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет дала мама детям?5.                Тетрадь, ручка, карандаш, книга стоят 37 рублей. Тетрадь, ручка, карандаш стоят 19 р. Книга, ручка, карандаш стоят 35 р. Тетрадь и карандаш стоят вместе 5 р. Сколько стоит каждая вещь в отдельности?6.                  В ящике лежит 100 черных и 100 белых шаров. Какое наименьшее число шаров надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка было два шара:  а) одного цвета; б) белого цвета.
7.                 Для нумерации страниц в книге потребовалось 1392 цифры. Сколько страниц в книге?8.                Восстановите запись:     *2*3                                                        **
                                              +  ***87                                                 *****_
                                                 2*004*9.                4 маляра окрашивают 6 комнат за 5 часов. За какое время 12 маляров окрасят 18 комнат? (все комнаты одинаковы, все маляры работают с одинаковой производитель­ностью)10.           Из пункта А в пункт Б выезжает автомобиль со скоростью 50 км/ч, через час по­сле него в том же направлении вылетает самолет, скорость которого 700 км/ч, самолет догоняет автомобиль, поворачивает и летит назад в пункт А, затем снова догоняет ав­томобиль и снова возвращается в пункт А, то есть непрерывно летает от пункта А до движущегося автомобиля, пока автомобиль приедет в пункт Б. Сколько километров пролетит самолет, пока автомобиль приедет в пункт Б, если расстояние между пункта­ми 300 км?11.            Счетчик показал, что автомобиль проехал 15951 км. Через 2 часа на счетчике было опять число, читалось одинаково в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?12.           Урожай фруктов в этом году был отличный. Мы наварили 20 банок варенья. Я расставил их на трех полках в погребе так, чтобы на каждой полке стояло одинаковое количество литров варенья. На 1-ую полку я поставил одну большую и 4 средние бан­ки, на 2-ую - 2 большие и 6 литровых банок, а на 3-ю - одну большую, три средних и 3 литровых банки. Сколько литров варенья мы сварили?13.           Определите числовые значения слова ТРАНСПОРТИРОВКА, если одинаковые буквы заменить соответственно одинаковыми цифрами, разные - разными, причем так, чтобы были выполнены указанные на рисунке неравенства:                    Т>Р>А>Н<С<П<О<Р<Т>И>Р>О<В<К<А.14.             Как с помощью 7-литрового ведра и 3-литровой банки налить в кастрюлю ровно 5 литров воды?15.              Между некоторыми цифрами 1 2 3 4 5 поставить знаки действий и скобки так, чтобы получилось число 40.16.            Шесть разбойников ограбили царя Додона. Добыча оказалась большой - менее сотни золотых слитков. Стали разбойники делить добычу поровну, но один слиток оказался лишним. Разбойники передрались - в драке был убит один разбойник. Оставшиеся раз­бойники снова стали делить золото, но снова один слиток золота оказался лишним и снова погиб один разбойник. И так далее: каждый раз один слиток оказывался лишним, и в завязавшейся драке убивали одного разбойника. В конце концов, остался лишь один разбойник, который тут же скончался от ран.    Сколько было слитков золота?
17.             В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Вик­тор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводилось по круговой системе — каждый из участников играет с каждым из остальных 1 раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис - с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина — с Андреем; Елена — с Андреем. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько осталось?18.             Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 подбери такие три числа, сумма которых будет равна 50.19.             Из города в деревню, расстояние между которыми 32 км, выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. И из деревни в город одновременно с ним вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Кто из них будет дальше от города через 2 часа?20.             Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом,  попросили соединить в одну цепь. Кузнец выполнил заказ, раскрыв только 3 звена. Как он это сделал?
21.             Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней, если они будут нести такое же и одинаковое количество яиц за один и тот же промежу­ток времени?22.             Написано 99 чисел: 1, 2, 3,…98, 99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?23.             Лиса Алиса и кот Базилио пришли в харчевню «Трех пескарей», заказали обед и дали хозяину 10 золотых. Тот в качестве сдачи вернул им столько денег, сколько стоил обед. Лиса Алиса заметила, что хозяин дал им на 2 золотых меньше, чем нужно. Сколько денег он должен вернуть им на самом деле?24.             Число X таково, что прибавить к нему 2 - то же самое, что умножить его на 3. Тогда умножить его на 6 — это то же самое, что прибавить к нему....?25.             Сколько дедушке лет, столько месяцев внучке. Дедушке с внучкой вместе 91 год. Сколько лет дедушке и сколько лет внучке?26.             Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:
1)        если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;
2)        первая цифра больше последней в 4 раза.     Сколько лет старику Хоттабычу?
27.             В пяти ящиках лежит по одинаковому числу яблок. Если из каждого ящика вы­нуть 60 яблок, то во всех ящиках останется столько яблок, сколько их раньше было в двух ящиках. Сколько яблок было в каждом ящике?28.             На доске в строчку написаны двадцать пятерок. Поставив между некоторы­ми из них знак +, Вася обнаружил, что сумма равна 1000. Сколько плюсов поставил Вася?29.             Определите пропущенные числа и найдите сумму:     2+4+6+8+…+2004.
30.             Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды 3 планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято ещё два сообщения, которые, как установили учёные, оказались оба ложными: а) А – не третья планета от звезды; б) Б – вторая планета. Какими планетами от звезды являются А, Б, В?